O software, normalmente, se divide em duas partes: servidor e cliente.

Existe a aplicação que roda lá no servidor e existe um pequeno emaranhado do código que roda no cliente.

Como desenvolvedor, eu instalo na minha máquina as duas partes.

Ubuntu (família Debian)

No terminal digite:

apt-get install mysql-server mysql-client

Enquanto os arquivos são baixados e instalados o sistema lhe perguntará qual será a senha do root (para acessar o banco de dados), anote-a.

Fedora (família Had-Hat)

O processo é parecido, só que você é quem define a senha:

yum install mysql mysql-server

inicie o serviço…

systemctl start mysqld.service
systemctl enable mysqld.service

e habilite a senha digitando…

mysqladmin -u root password sua-senha-aqui

Para testar a instalação

Se tudo ocorreu bem poderemos acessar o servidor MySQL via console e saber se ele está ou não funcionando.